Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27406 / 21565
↖ ↑ ↗
← N 52.278241°
W 29.454346°		 ← 373.70 m → N 52.278241°
W 29.448853°		 →
↑
373.72 m
↓
↑
373.72 m
↓
N 52.274880°
W 29.454346°		 ← 373.73 m →
139 664 m²		 N 52.274880°
W 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418190002441406 y=0.329063415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418190002441406 × 216)
    floor (0.418190002441406 × 65536)
    floor (27406.5)     		tx = 27406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329063415527344 × 216)
    floor (0.329063415527344 × 65536)
    floor (21565.5)     		ty = 21565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27406 / 21565 ti = "16/27406/21565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27406/21565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27406 ÷ 216
    27406 ÷ 65536     		x = 0.418182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21565 ÷ 216
    21565 ÷ 65536     		y = 0.329055786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.16363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51407531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329055786132812 × 2 - 1) × π
    0.341888427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07407417288698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51407531} λ = -0.51407531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07407417288698))-π/2
    2×atan(2.92728148900825)-π/2
    2×1.24161188079525-π/2
    2.4832237615905-1.57079632675     		φ = 0.91242743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51407531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.454346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91242743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.278241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27406 KachelY 21565 -0.51407531 0.91242743 -29.454346 52.278241
    Oben rechts KachelX + 1 27407 KachelY 21565 -0.51397944 0.91242743 -29.448853 52.278241
    Unten links KachelX 27406 KachelY + 1 21566 -0.51407531 0.91236877 -29.454346 52.274880
    Unten rechts KachelX + 1 27407 KachelY + 1 21566 -0.51397944 0.91236877 -29.448853 52.274880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91242743-0.91236877) × R
    5.86599999999882e-05 × 6371000     		dl = 373.722859999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91242743-0.91236877) × R
    5.86599999999882e-05 × 6371000     		dr = 373.722859999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51407531--0.51397944) × cos(0.91242743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611827478086204 × 6371000     		do = 373.696740964988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51407531--0.51397944) × cos(0.91236877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611873876579493 × 6371000     		du = 373.725080597236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91242743)-sin(0.91236877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611827478086204-0.611873876579493)×R²
    abs(-0.51397944--0.51407531)×4.63984932896899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63984932896899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63984932896899e-05×40589641000000     		ar = 139664.310430428m²