Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27402 / 6798
↖ ↑ ↗
← N 80.519413°
W 29.476319°		 ← 100.62 m → N 80.519413°
W 29.470825°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 80.518507°
W 29.476319°		 ← 100.62 m →
10 129 m²		 N 80.518507°
W 29.470825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418128967285156 y=0.103736877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418128967285156 × 216)
    floor (0.418128967285156 × 65536)
    floor (27402.5)     		tx = 27402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103736877441406 × 216)
    floor (0.103736877441406 × 65536)
    floor (6798.5)     		ty = 6798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27402 / 6798 ti = "16/27402/6798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27402/6798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27402 ÷ 216
    27402 ÷ 65536     		x = 0.418121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6798 ÷ 216
    6798 ÷ 65536     		y = 0.103729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103729248046875 × 2 - 1) × π
    0.79254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48984256626572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51445881} λ = -0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48984256626572))-π/2
    2×atan(12.0593774181687)-π/2
    2×1.48806259188206-π/2
    2.97612518376411-1.57079632675     		φ = 1.40532886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40532886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.519413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27402 KachelY 6798 -0.51445881 1.40532886 -29.476319 80.519413
    Oben rechts KachelX + 1 27403 KachelY 6798 -0.51436293 1.40532886 -29.470825 80.519413
    Unten links KachelX 27402 KachelY + 1 6799 -0.51445881 1.40531306 -29.476319 80.518507
    Unten rechts KachelX + 1 27403 KachelY + 1 6799 -0.51436293 1.40531306 -29.470825 80.518507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40532886-1.40531306) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40532886-1.40531306) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51445881--0.51436293) × cos(1.40532886) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164713430854051 × 6371000     		do = 100.615443013125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51445881--0.51436293) × cos(1.40531306) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164729015028639 × 6371000     		du = 100.624962629237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40532886)-sin(1.40531306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164713430854051-0.164729015028639)×R²
    abs(-0.51436293--0.51445881)×1.55841745878849e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.55841745878849e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.55841745878849e-05×40589641000000     		ar = 10128.6107323566m²