Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27402 / 21563
↖ ↑ ↗
← N 52.284962°
W 29.476319°		 ← 373.68 m → N 52.284962°
W 29.470825°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
N 52.281602°
W 29.476319°		 ← 373.71 m →
139 634 m²		 N 52.281602°
W 29.470825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418128967285156 y=0.329032897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418128967285156 × 216)
    floor (0.418128967285156 × 65536)
    floor (27402.5)     		tx = 27402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329032897949219 × 216)
    floor (0.329032897949219 × 65536)
    floor (21563.5)     		ty = 21563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27402 / 21563 ti = "16/27402/21563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27402/21563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27402 ÷ 216
    27402 ÷ 65536     		x = 0.418121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21563 ÷ 216
    21563 ÷ 65536     		y = 0.329025268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329025268554688 × 2 - 1) × π
    0.341949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07426592048546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51445881} λ = -0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07426592048546))-π/2
    2×atan(2.92784284202117)-π/2
    2×1.24167053457141-π/2
    2.48334106914283-1.57079632675     		φ = 0.91254474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91254474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.284962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27402 KachelY 21563 -0.51445881 0.91254474 -29.476319 52.284962
    Oben rechts KachelX + 1 27403 KachelY 21563 -0.51436293 0.91254474 -29.470825 52.284962
    Unten links KachelX 27402 KachelY + 1 21564 -0.51445881 0.91248609 -29.476319 52.281602
    Unten rechts KachelX + 1 27403 KachelY + 1 21564 -0.51436293 0.91248609 -29.470825 52.281602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91254474-0.91248609) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dl = 373.659149999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91254474-0.91248609) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dr = 373.659149999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51445881--0.51436293) × cos(0.91254474) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		do = 373.67903629147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51445881--0.51436293) × cos(0.91248609) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.611781077487618 × 6371000     		du = 373.707376619494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91254474)-sin(0.91248609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611734682694527-0.611781077487618)×R²
    abs(-0.51436293--0.51445881)×4.639479309132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.639479309132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.639479309132e-05×40589641000000     		ar = 139633.885924645m²