Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27401 / 9447
↖ ↑ ↗
← N 77.796645°
W 29.481811°		 ← 129.11 m → N 77.796645°
W 29.476319°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 77.795484°
W 29.481811°		 ← 129.12 m →
16 674 m²		 N 77.795484°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418113708496094 y=0.144157409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418113708496094 × 216)
    floor (0.418113708496094 × 65536)
    floor (27401.5)     		tx = 27401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144157409667969 × 216)
    floor (0.144157409667969 × 65536)
    floor (9447.5)     		ty = 9447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27401 / 9447 ti = "16/27401/9447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27401/9447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27401 ÷ 216
    27401 ÷ 65536     		x = 0.418106079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9447 ÷ 216
    9447 ÷ 65536     		y = 0.144149780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.163787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51455468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144149780273438 × 2 - 1) × π
    0.711700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23587287207866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51455468} λ = -0.51455468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23587287207866))-π/2
    2×atan(9.35464369684405)-π/2
    2×1.46430196726099-π/2
    2.92860393452198-1.57079632675     		φ = 1.35780761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51455468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.481811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35780761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.796645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27401 KachelY 9447 -0.51455468 1.35780761 -29.481811 77.796645
    Oben rechts KachelX + 1 27402 KachelY 9447 -0.51445881 1.35780761 -29.476319 77.796645
    Unten links KachelX 27401 KachelY + 1 9448 -0.51455468 1.35778734 -29.481811 77.795484
    Unten rechts KachelX + 1 27402 KachelY + 1 9448 -0.51445881 1.35778734 -29.476319 77.795484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35780761-1.35778734) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35780761-1.35778734) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51455468--0.51445881) × cos(1.35780761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21138202188936 × 6371000     		do = 129.109553767891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51455468--0.51445881) × cos(1.35778734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211401833815283 × 6371000     		du = 129.121654649945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35780761)-sin(1.35778734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21138202188936-0.211401833815283)×R²
    abs(-0.51445881--0.51455468)×1.98119259226248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98119259226248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98119259226248e-05×40589641000000     		ar = 16674.0110779499m²