Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27401 / 21558
↖ ↑ ↗
← N 52.301761°
W 29.481811°		 ← 373.50 m → N 52.301761°
W 29.476319°		 →
↑
373.53 m
↓
↑
373.53 m
↓
N 52.298402°
W 29.481811°		 ← 373.53 m →
139 519 m²		 N 52.298402°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418113708496094 y=0.328956604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418113708496094 × 216)
    floor (0.418113708496094 × 65536)
    floor (27401.5)     		tx = 27401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328956604003906 × 216)
    floor (0.328956604003906 × 65536)
    floor (21558.5)     		ty = 21558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27401 / 21558 ti = "16/27401/21558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27401/21558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27401 ÷ 216
    27401 ÷ 65536     		x = 0.418106079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21558 ÷ 216
    21558 ÷ 65536     		y = 0.328948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.163787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51455468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328948974609375 × 2 - 1) × π
    0.34210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07474528948166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51455468} λ = -0.51455468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07474528948166))-π/2
    2×atan(2.92924669556043)-π/2
    2×1.24181713009218-π/2
    2.48363426018436-1.57079632675     		φ = 0.91283793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51455468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.481811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91283793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27401 KachelY 21558 -0.51455468 0.91283793 -29.481811 52.301761
    Oben rechts KachelX + 1 27402 KachelY 21558 -0.51445881 0.91283793 -29.476319 52.301761
    Unten links KachelX 27401 KachelY + 1 21559 -0.51455468 0.91277930 -29.481811 52.298402
    Unten rechts KachelX + 1 27402 KachelY + 1 21559 -0.51445881 0.91277930 -29.476319 52.298402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91283793-0.91277930) × R
    5.86300000000595e-05 × 6371000     		dl = 373.531730000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91283793-0.91277930) × R
    5.86300000000595e-05 × 6371000     		dr = 373.531730000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51455468--0.51445881) × cos(0.91283793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611502724642922 × 6371000     		do = 373.498385533566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51455468--0.51445881) × cos(0.91277930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61154911412943 × 6371000     		du = 373.526719664582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91283793)-sin(0.91277930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611502724642922-0.61154911412943)×R²
    abs(-0.51445881--0.51455468)×4.6389486507592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6389486507592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6389486507592e-05×40589641000000     		ar = 139518.78998937m²