Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27400 / 9367
↖ ↑ ↗
← N 77.889191°
W 29.487304°		 ← 128.15 m → N 77.889191°
W 29.481811°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 77.888038°
W 29.487304°		 ← 128.16 m →
16 427 m²		 N 77.888038°
W 29.481811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418098449707031 y=0.142936706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418098449707031 × 216)
    floor (0.418098449707031 × 65536)
    floor (27400.5)     		tx = 27400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142936706542969 × 216)
    floor (0.142936706542969 × 65536)
    floor (9367.5)     		ty = 9367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27400 / 9367 ti = "16/27400/9367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27400/9367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27400 ÷ 216
    27400 ÷ 65536     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9367 ÷ 216
    9367 ÷ 65536     		y = 0.142929077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142929077148438 × 2 - 1) × π
    0.714141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24354277601787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24354277601787))-π/2
    2×atan(9.4266687750126)-π/2
    2×1.46510957587953-π/2
    2.93021915175907-1.57079632675     		φ = 1.35942283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35942283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.889191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27400 KachelY 9367 -0.51465055 1.35942283 -29.487304 77.889191
    Oben rechts KachelX + 1 27401 KachelY 9367 -0.51455468 1.35942283 -29.481811 77.889191
    Unten links KachelX 27400 KachelY + 1 9368 -0.51465055 1.35940271 -29.487304 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 27401 KachelY + 1 9368 -0.51455468 1.35940271 -29.481811 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35942283-1.35940271) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35942283-1.35940271) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.35942283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209803025121335 × 6371000     		do = 128.145121853111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.35940271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 128.157137367995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35942283)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209803025121335-0.209822697281575)×R²
    abs(-0.51455468--0.51465055)×1.96721602396255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96721602396255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96721602396255e-05×40589641000000     		ar = 16426.9910371818m²