Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27400 / 7480
↖ ↑ ↗
← N 79.882020°
W 29.487304°		 ← 107.30 m → N 79.882020°
W 29.481811°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
N 79.881055°
W 29.487304°		 ← 107.31 m →
11 513 m²		 N 79.881055°
W 29.481811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418098449707031 y=0.114143371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418098449707031 × 216)
    floor (0.418098449707031 × 65536)
    floor (27400.5)     		tx = 27400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114143371582031 × 216)
    floor (0.114143371582031 × 65536)
    floor (7480.5)     		ty = 7480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27400 / 7480 ti = "16/27400/7480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27400/7480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27400 ÷ 216
    27400 ÷ 65536     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7480 ÷ 216
    7480 ÷ 65536     		y = 0.1141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1141357421875 × 2 - 1) × π
    0.771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42445663518396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42445663518396))-π/2
    2×atan(11.2960898536334)-π/2
    2×1.48250029414583-π/2
    2.96500058829166-1.57079632675     		φ = 1.39420426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39420426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.882020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27400 KachelY 7480 -0.51465055 1.39420426 -29.487304 79.882020
    Oben rechts KachelX + 1 27401 KachelY 7480 -0.51455468 1.39420426 -29.481811 79.882020
    Unten links KachelX 27400 KachelY + 1 7481 -0.51465055 1.39418742 -29.487304 79.881055
    Unten rechts KachelX + 1 27401 KachelY + 1 7481 -0.51455468 1.39418742 -29.481811 79.881055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39420426-1.39418742) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39420426-1.39418742) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.39420426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175675666702079 × 6371000     		do = 107.300548708223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.39418742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17569224478316 × 6371000     		du = 107.310674397398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39420426)-sin(1.39418742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175675666702079-0.17569224478316)×R²
    abs(-0.51455468--0.51465055)×1.65780810811589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65780810811589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65780810811589e-05×40589641000000     		ar = 11512.5658227956m²