Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27400 / 6808
↖ ↑ ↗
← N 80.510360°
W 29.487304°		 ← 100.70 m → N 80.510360°
W 29.481811°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
N 80.509455°
W 29.487304°		 ← 100.71 m →
10 144 m²		 N 80.509455°
W 29.481811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418098449707031 y=0.103889465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418098449707031 × 216)
    floor (0.418098449707031 × 65536)
    floor (27400.5)     		tx = 27400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103889465332031 × 216)
    floor (0.103889465332031 × 65536)
    floor (6808.5)     		ty = 6808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27400 / 6808 ti = "16/27400/6808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27400/6808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27400 ÷ 216
    27400 ÷ 65536     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6808 ÷ 216
    6808 ÷ 65536     		y = 0.1038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1038818359375 × 2 - 1) × π
    0.792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48888382827332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48888382827332))-π/2
    2×atan(12.0478211754628)-π/2
    2×1.48798359602389-π/2
    2.97596719204778-1.57079632675     		φ = 1.40517087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40517087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.510360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27400 KachelY 6808 -0.51465055 1.40517087 -29.487304 80.510360
    Oben rechts KachelX + 1 27401 KachelY 6808 -0.51455468 1.40517087 -29.481811 80.510360
    Unten links KachelX 27400 KachelY + 1 6809 -0.51465055 1.40515506 -29.487304 80.509455
    Unten rechts KachelX + 1 27401 KachelY + 1 6809 -0.51455468 1.40515506 -29.481811 80.509455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40517087-1.40515506) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40517087-1.40515506) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.40517087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164869260885774 × 6371000     		do = 100.700128197968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51455468) × cos(1.40515506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164884854512112 × 6371000     		du = 100.709652594225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40517087)-sin(1.40515506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164869260885774-0.164884854512112)×R²
    abs(-0.51455468--0.51465055)×1.55936263375456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55936263375456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55936263375456e-05×40589641000000     		ar = 10143.5514448383m²