Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 274 / 374
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
E 12.656250°		 ← 34.826 km → S 63.548552°
E 13.359375°		 →
↑
34.635 km
↓
↑
34.635 km
↓
S 63.860036°
E 12.656250°		 ← 34.445 km →
1 199.62 km²		 S 63.860036°
E 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5361328125 y=0.7314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5361328125 × 29)
    floor (0.5361328125 × 512)
    floor (274.5)     		tx = 274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7314453125 × 29)
    floor (0.7314453125 × 512)
    floor (374.5)     		ty = 374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 274 / 374 ti = "9/274/374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/274/374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 274 ÷ 29
    274 ÷ 512     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 374 ÷ 29
    374 ÷ 512     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 274 KachelY 374 0.22089323 -1.10913147 12.656250 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 275 KachelY 374 0.23316508 -1.10913147 13.359375 -63.548552
    Unten links KachelX 274 KachelY + 1 375 0.22089323 -1.11456789 12.656250 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 275 KachelY + 1 375 0.23316508 -1.11456789 13.359375 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.11456789) × R
    0.00543642000000011 × 6371000     		dl = 34635.4318200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.11456789) × R
    0.00543642000000011 × 6371000     		dr = 34635.4318200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(-1.10913147) × R
    0.01227185 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 34826.2060144908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(-1.11456789) × R
    0.01227185 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 34445.1490395828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.44056543883997)×R²
    abs(0.23316508-0.22089323)×0.00487385126946155×R²
    0.01227185×0.00487385126946155×6371000²
    0.01227185×0.00487385126946155×40589641000000     		ar = 1199624602.07039m²