Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27399 / 7481
↖ ↑ ↗
← N 79.881055°
W 29.492798°		 ← 107.32 m → N 79.881055°
W 29.487304°		 →
↑
107.35 m
↓
↑
107.35 m
↓
N 79.880090°
W 29.492798°		 ← 107.33 m →
11 522 m²		 N 79.880090°
W 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418083190917969 y=0.114158630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418083190917969 × 216)
    floor (0.418083190917969 × 65536)
    floor (27399.5)     		tx = 27399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114158630371094 × 216)
    floor (0.114158630371094 × 65536)
    floor (7481.5)     		ty = 7481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27399 / 7481 ti = "16/27399/7481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27399/7481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27399 ÷ 216
    27399 ÷ 65536     		x = 0.418075561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7481 ÷ 216
    7481 ÷ 65536     		y = 0.114151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418075561523438 × 2 - 1) × π
    -0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114151000976562 × 2 - 1) × π
    0.771697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42436076138472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51474643} λ = -0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42436076138472))-π/2
    2×atan(11.2950069064965)-π/2
    2×1.48249187240167-π/2
    2.96498374480335-1.57079632675     		φ = 1.39418742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39418742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.881055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27399 KachelY 7481 -0.51474643 1.39418742 -29.492798 79.881055
    Oben rechts KachelX + 1 27400 KachelY 7481 -0.51465055 1.39418742 -29.487304 79.881055
    Unten links KachelX 27399 KachelY + 1 7482 -0.51474643 1.39417057 -29.492798 79.880090
    Unten rechts KachelX + 1 27400 KachelY + 1 7482 -0.51465055 1.39417057 -29.487304 79.880090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39418742-1.39417057) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dl = 107.351349999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39418742-1.39417057) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dr = 107.351349999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(1.39418742) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17569224478316 × 6371000     		do = 107.321867750245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(1.39417057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175708832658839 × 6371000     		du = 107.332000478654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39418742)-sin(1.39417057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17569224478316-0.175708832658839)×R²
    abs(-0.51465055--0.51474643)×1.65878756791249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65878756791249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65878756791249e-05×40589641000000     		ar = 11521.6912685396m²