Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27399 / 5863
↖ ↑ ↗
← N 81.329049°
W 29.492798°		 ← 92.09 m → N 81.329049°
W 29.487304°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
N 81.328221°
W 29.492798°		 ← 92.10 m →
8 478 m²		 N 81.328221°
W 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418083190917969 y=0.0894699096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418083190917969 × 216)
    floor (0.418083190917969 × 65536)
    floor (27399.5)     		tx = 27399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894699096679688 × 216)
    floor (0.0894699096679688 × 65536)
    floor (5863.5)     		ty = 5863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27399 / 5863 ti = "16/27399/5863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27399/5863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27399 ÷ 216
    27399 ÷ 65536     		x = 0.418075561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5863 ÷ 216
    5863 ÷ 65536     		y = 0.0894622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418075561523438 × 2 - 1) × π
    -0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894622802734375 × 2 - 1) × π
    0.821075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57948456855522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51474643} λ = -0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57948456855522))-π/2
    2×atan(13.1903376924077)-π/2
    2×1.49512800582989-π/2
    2.99025601165978-1.57079632675     		φ = 1.41945968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41945968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.329049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27399 KachelY 5863 -0.51474643 1.41945968 -29.492798 81.329049
    Oben rechts KachelX + 1 27400 KachelY 5863 -0.51465055 1.41945968 -29.487304 81.329049
    Unten links KachelX 27399 KachelY + 1 5864 -0.51474643 1.41944523 -29.492798 81.328221
    Unten rechts KachelX + 1 27400 KachelY + 1 5864 -0.51465055 1.41944523 -29.487304 81.328221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41945968-1.41944523) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dl = 92.0609499992875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41945968-1.41944523) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dr = 92.0609499992875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(1.41945968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150759636277358 × 6371000     		do = 92.0917469442254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(1.41944523) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150773921104602 × 6371000     		du = 92.1004728520888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41945968)-sin(1.41944523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150759636277358-0.150773921104602)×R²
    abs(-0.51465055--0.51474643)×1.42848272438045e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42848272438045e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42848272438045e-05×40589641000000     		ar = 8478.45536861058m²