Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27399 / 42725
↖ ↑ ↗
← S 47.890564°
W 29.492798°		 ← 409.61 m → S 47.890564°
W 29.487304°		 →
↑
409.59 m
↓
↑
409.59 m
↓
S 47.894248°
W 29.492798°		 ← 409.58 m →
167 765 m²		 S 47.894248°
W 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418083190917969 y=0.651939392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418083190917969 × 216)
    floor (0.418083190917969 × 65536)
    floor (27399.5)     		tx = 27399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651939392089844 × 216)
    floor (0.651939392089844 × 65536)
    floor (42725.5)     		ty = 42725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27399 / 42725 ti = "16/27399/42725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27399/42725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27399 ÷ 216
    27399 ÷ 65536     		x = 0.418075561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42725 ÷ 216
    42725 ÷ 65536     		y = 0.651931762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418075561523438 × 2 - 1) × π
    -0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651931762695312 × 2 - 1) × π
    -0.303863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.954615419033798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51474643} λ = -0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954615419033798))-π/2
    2×atan(0.384960164440328)-π/2
    2×0.367474148552259-π/2
    0.734948297104518-1.57079632675     		φ = -0.83584803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83584803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.890564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27399 KachelY 42725 -0.51474643 -0.83584803 -29.492798 -47.890564
    Oben rechts KachelX + 1 27400 KachelY 42725 -0.51465055 -0.83584803 -29.487304 -47.890564
    Unten links KachelX 27399 KachelY + 1 42726 -0.51474643 -0.83591232 -29.492798 -47.894248
    Unten rechts KachelX + 1 27400 KachelY + 1 42726 -0.51465055 -0.83591232 -29.487304 -47.894248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83584803--0.83591232) × R
    6.42900000000779e-05 × 6371000     		dl = 409.591590000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83584803--0.83591232) × R
    6.42900000000779e-05 × 6371000     		dr = 409.591590000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(-0.83584803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.670548799714012 × 6371000     		do = 409.605726717259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51474643--0.51465055) × cos(-0.83591232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.670501103800183 × 6371000     		du = 409.576591597707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83584803)-sin(-0.83591232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670548799714012-0.670501103800183)×R²
    abs(-0.51465055--0.51474643)×4.76959138282496e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76959138282496e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76959138282496e-05×40589641000000     		ar = 167765.094187421m²