Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27397 / 7443
↖ ↑ ↗
← N 79.917663°
W 29.503784°		 ← 106.94 m → N 79.917663°
W 29.498291°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 79.916702°
W 29.503784°		 ← 106.95 m →
11 433 m²		 N 79.916702°
W 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418052673339844 y=0.113578796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418052673339844 × 216)
    floor (0.418052673339844 × 65536)
    floor (27397.5)     		tx = 27397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113578796386719 × 216)
    floor (0.113578796386719 × 65536)
    floor (7443.5)     		ty = 7443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27397 / 7443 ti = "16/27397/7443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27397/7443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27397 ÷ 216
    27397 ÷ 65536     		x = 0.418045043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7443 ÷ 216
    7443 ÷ 65536     		y = 0.113571166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418045043945312 × 2 - 1) × π
    -0.163909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51493818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113571166992188 × 2 - 1) × π
    0.772857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42800396575584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51493818} λ = -0.51493818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42800396575584))-π/2
    2×atan(11.3362319751071)-π/2
    2×1.48281134052631-π/2
    2.96562268105261-1.57079632675     		φ = 1.39482635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51493818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.503784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39482635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.917663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27397 KachelY 7443 -0.51493818 1.39482635 -29.503784 79.917663
    Oben rechts KachelX + 1 27398 KachelY 7443 -0.51484230 1.39482635 -29.498291 79.917663
    Unten links KachelX 27397 KachelY + 1 7444 -0.51493818 1.39480957 -29.503784 79.916702
    Unten rechts KachelX + 1 27398 KachelY + 1 7444 -0.51484230 1.39480957 -29.498291 79.916702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39482635-1.39480957) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39482635-1.39480957) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51493818--0.51484230) × cos(1.39482635) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175063217430626 × 6371000     		do = 106.937625461114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51493818--0.51484230) × cos(1.39480957) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175079738275709 × 6371000     		du = 106.947717243783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39482635)-sin(1.39480957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175063217430626-0.175079738275709)×R²
    abs(-0.51484230--0.51493818)×1.6520845082385e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.6520845082385e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.6520845082385e-05×40589641000000     		ar = 11432.7469197074m²