Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27396 / 7468
↖ ↑ ↗
← N 79.893594°
W 29.509277°		 ← 107.18 m → N 79.893594°
W 29.503784°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 79.892630°
W 29.509277°		 ← 107.19 m →
11 486 m²		 N 79.892630°
W 29.503784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418037414550781 y=0.113960266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418037414550781 × 216)
    floor (0.418037414550781 × 65536)
    floor (27396.5)     		tx = 27396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113960266113281 × 216)
    floor (0.113960266113281 × 65536)
    floor (7468.5)     		ty = 7468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27396 / 7468 ti = "16/27396/7468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27396/7468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27396 ÷ 216
    27396 ÷ 65536     		x = 0.41802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7468 ÷ 216
    7468 ÷ 65536     		y = 0.11395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51503405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    0.7720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42560712077484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51503405} λ = -0.51503405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42560712077484))-π/2
    2×atan(11.3090933209599)-π/2
    2×1.48260129309973-π/2
    2.96520258619947-1.57079632675     		φ = 1.39440626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51503405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.509277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39440626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.893594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27396 KachelY 7468 -0.51503405 1.39440626 -29.509277 79.893594
    Oben rechts KachelX + 1 27397 KachelY 7468 -0.51493818 1.39440626 -29.503784 79.893594
    Unten links KachelX 27396 KachelY + 1 7469 -0.51503405 1.39438944 -29.509277 79.892630
    Unten rechts KachelX + 1 27397 KachelY + 1 7469 -0.51493818 1.39438944 -29.503784 79.892630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39440626-1.39438944) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39440626-1.39438944) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51503405--0.51493818) × cos(1.39440626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175476804603246 × 6371000     		do = 107.17908617034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51503405--0.51493818) × cos(1.39438944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175493363591997 × 6371000     		du = 107.189200198153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39440626)-sin(1.39438944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175476804603246-0.175493363591997)×R²
    abs(-0.51493818--0.51503405)×1.65589887511919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65589887511919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65589887511919e-05×40589641000000     		ar = 11485.8763643203m²