Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27394 / 9342
↖ ↑ ↗
← N 77.917969°
W 29.520264°		 ← 127.86 m → N 77.917969°
W 29.514770°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 77.916819°
W 29.520264°		 ← 127.87 m →
16 350 m²		 N 77.916819°
W 29.514770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418006896972656 y=0.142555236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418006896972656 × 216)
    floor (0.418006896972656 × 65536)
    floor (27394.5)     		tx = 27394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142555236816406 × 216)
    floor (0.142555236816406 × 65536)
    floor (9342.5)     		ty = 9342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27394 / 9342 ti = "16/27394/9342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27394/9342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27394 ÷ 216
    27394 ÷ 65536     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9342 ÷ 216
    9342 ÷ 65536     		y = 0.142547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142547607421875 × 2 - 1) × π
    0.71490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24593962099887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24593962099887))-π/2
    2×atan(9.44929013787386)-π/2
    2×1.46536071415253-π/2
    2.93072142830505-1.57079632675     		φ = 1.35992510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35992510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.917969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27394 KachelY 9342 -0.51522580 1.35992510 -29.520264 77.917969
    Oben rechts KachelX + 1 27395 KachelY 9342 -0.51512992 1.35992510 -29.514770 77.917969
    Unten links KachelX 27394 KachelY + 1 9343 -0.51522580 1.35990503 -29.520264 77.916819
    Unten rechts KachelX + 1 27395 KachelY + 1 9343 -0.51512992 1.35990503 -29.514770 77.916819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35992510-1.35990503) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dl = 127.865970000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35992510-1.35990503) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dr = 127.865970000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(1.35992510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209311907363158 × 6371000     		do = 127.858488394324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(1.35990503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20933153274898 × 6371000     		du = 127.870476590299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35992510)-sin(1.35990503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209311907363158-0.20933153274898)×R²
    abs(-0.51512992--0.51522580)×1.96253858221751e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96253858221751e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96253858221751e-05×40589641000000     		ar = 16349.5160830043m²