Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27394 / 7447
↖ ↑ ↗
← N 79.913816°
W 29.520264°		 ← 106.98 m → N 79.913816°
W 29.514770°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 79.912854°
W 29.520264°		 ← 106.99 m →
11 451 m²		 N 79.912854°
W 29.514770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418006896972656 y=0.113639831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418006896972656 × 216)
    floor (0.418006896972656 × 65536)
    floor (27394.5)     		tx = 27394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113639831542969 × 216)
    floor (0.113639831542969 × 65536)
    floor (7447.5)     		ty = 7447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27394 / 7447 ti = "16/27394/7447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27394/7447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27394 ÷ 216
    27394 ÷ 65536     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7447 ÷ 216
    7447 ÷ 65536     		y = 0.113632202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113632202148438 × 2 - 1) × π
    0.772735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42762047055888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42762047055888))-π/2
    2×atan(11.3318854180881)-π/2
    2×1.48277776623764-π/2
    2.96555553247527-1.57079632675     		φ = 1.39475921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39475921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.913816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27394 KachelY 7447 -0.51522580 1.39475921 -29.520264 79.913816
    Oben rechts KachelX + 1 27395 KachelY 7447 -0.51512992 1.39475921 -29.514770 79.913816
    Unten links KachelX 27394 KachelY + 1 7448 -0.51522580 1.39474241 -29.520264 79.912854
    Unten rechts KachelX + 1 27395 KachelY + 1 7448 -0.51512992 1.39474241 -29.514770 79.912854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39475921-1.39474241) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39475921-1.39474241) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(1.39475921) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175129320206065 × 6371000     		do = 106.978004439199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(1.39474241) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175145860544723 × 6371000     		du = 106.988108129547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39475921)-sin(1.39474241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175129320206065-0.175145860544723)×R²
    abs(-0.51512992--0.51522580)×1.65403386578333e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65403386578333e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65403386578333e-05×40589641000000     		ar = 11450.6960671462m²