Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27394 / 21322
↖ ↑ ↗
← N 53.087426°
W 29.520264°		 ← 366.87 m → N 53.087426°
W 29.514770°		 →
↑
366.84 m
↓
↑
366.84 m
↓
N 53.084127°
W 29.520264°		 ← 366.90 m →
134 590 m²		 N 53.084127°
W 29.514770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418006896972656 y=0.325355529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418006896972656 × 216)
    floor (0.418006896972656 × 65536)
    floor (27394.5)     		tx = 27394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325355529785156 × 216)
    floor (0.325355529785156 × 65536)
    floor (21322.5)     		ty = 21322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27394 / 21322 ti = "16/27394/21322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27394/21322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27394 ÷ 216
    27394 ÷ 65536     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21322 ÷ 216
    21322 ÷ 65536     		y = 0.325347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325347900390625 × 2 - 1) × π
    0.34930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09737150610233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09737150610233))-π/2
    2×atan(2.99627996065989)-π/2
    2×1.24867335285684-π/2
    2.49734670571368-1.57079632675     		φ = 0.92655038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92655038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.087426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27394 KachelY 21322 -0.51522580 0.92655038 -29.520264 53.087426
    Oben rechts KachelX + 1 27395 KachelY 21322 -0.51512992 0.92655038 -29.514770 53.087426
    Unten links KachelX 27394 KachelY + 1 21323 -0.51522580 0.92649280 -29.520264 53.084127
    Unten rechts KachelX + 1 27395 KachelY + 1 21323 -0.51512992 0.92649280 -29.514770 53.084127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92655038-0.92649280) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dl = 366.84218000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92655038-0.92649280) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dr = 366.84218000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(0.92655038) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.600595703911106 × 6371000     		do = 366.874774615501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51512992) × cos(0.92649280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.600641741170018 × 6371000     		du = 366.902896543242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92655038)-sin(0.92649280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600595703911106-0.600641741170018)×R²
    abs(-0.51512992--0.51522580)×4.60372589113911e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.60372589113911e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.60372589113911e-05×40589641000000     		ar = 134590.300298874m²