Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27391 / 7425
↖ ↑ ↗
← N 79.934958°
W 29.536743°		 ← 106.76 m → N 79.934958°
W 29.531250°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 79.933998°
W 29.536743°		 ← 106.77 m →
11 400 m²		 N 79.933998°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417961120605469 y=0.113304138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417961120605469 × 216)
    floor (0.417961120605469 × 65536)
    floor (27391.5)     		tx = 27391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113304138183594 × 216)
    floor (0.113304138183594 × 65536)
    floor (7425.5)     		ty = 7425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27391 / 7425 ti = "16/27391/7425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27391/7425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27391 ÷ 216
    27391 ÷ 65536     		x = 0.417953491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7425 ÷ 216
    7425 ÷ 65536     		y = 0.113296508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417953491210938 × 2 - 1) × π
    -0.164093017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51551342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113296508789062 × 2 - 1) × π
    0.773406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42972969414217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51551342} λ = -0.51551342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42972969414217))-π/2
    2×atan(11.3558121225692)-π/2
    2×1.48296226804711-π/2
    2.96592453609421-1.57079632675     		φ = 1.39512821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51551342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.536743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39512821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.934958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27391 KachelY 7425 -0.51551342 1.39512821 -29.536743 79.934958
    Oben rechts KachelX + 1 27392 KachelY 7425 -0.51541754 1.39512821 -29.531250 79.934958
    Unten links KachelX 27391 KachelY + 1 7426 -0.51551342 1.39511145 -29.536743 79.933998
    Unten rechts KachelX + 1 27392 KachelY + 1 7426 -0.51541754 1.39511145 -29.531250 79.933998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39512821-1.39511145) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39512821-1.39511145) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51551342--0.51541754) × cos(1.39512821) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174766011024474 × 6371000     		do = 106.75607648805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51551342--0.51541754) × cos(1.39511145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174782513063436 × 6371000     		du = 106.766156782973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39512821)-sin(1.39511145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174766011024474-0.174782513063436)×R²
    abs(-0.51541754--0.51551342)×1.65020389624737e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65020389624737e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65020389624737e-05×40589641000000     		ar = 11399.7342419063m²