Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27390 / 7441
↖ ↑ ↗
← N 79.919586°
W 29.542236°		 ← 106.91 m → N 79.919586°
W 29.536743°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 79.918625°
W 29.542236°		 ← 106.92 m →
11 429 m²		 N 79.918625°
W 29.536743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417945861816406 y=0.113548278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417945861816406 × 216)
    floor (0.417945861816406 × 65536)
    floor (27390.5)     		tx = 27390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113548278808594 × 216)
    floor (0.113548278808594 × 65536)
    floor (7441.5)     		ty = 7441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27390 / 7441 ti = "16/27390/7441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27390/7441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27390 ÷ 216
    27390 ÷ 65536     		x = 0.417938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7441 ÷ 216
    7441 ÷ 65536     		y = 0.113540649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113540649414062 × 2 - 1) × π
    0.772918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42819571335432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51560929} λ = -0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42819571335432))-π/2
    2×atan(11.3384058787779)-π/2
    2×1.48282812291747-π/2
    2.96565624583494-1.57079632675     		φ = 1.39485992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39485992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.919586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27390 KachelY 7441 -0.51560929 1.39485992 -29.542236 79.919586
    Oben rechts KachelX + 1 27391 KachelY 7441 -0.51551342 1.39485992 -29.536743 79.919586
    Unten links KachelX 27390 KachelY + 1 7442 -0.51560929 1.39484314 -29.542236 79.918625
    Unten rechts KachelX + 1 27391 KachelY + 1 7442 -0.51551342 1.39484314 -29.536743 79.918625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39485992-1.39484314) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39485992-1.39484314) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51560929--0.51551342) × cos(1.39485992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175030165746959 × 6371000     		do = 106.906284619313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51560929--0.51551342) × cos(1.39484314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17504668669065 × 6371000     		du = 106.916375409669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39485992)-sin(1.39484314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175030165746959-0.17504668669065)×R²
    abs(-0.51551342--0.51560929)×1.65209436916169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65209436916169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65209436916169e-05×40589641000000     		ar = 11429.3963618794m²