Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27388 / 6853
↖ ↑ ↗
← N 80.469519°
W 29.553223°		 ← 101.13 m → N 80.469519°
W 29.547730°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
N 80.468609°
W 29.553223°		 ← 101.14 m →
10 225 m²		 N 80.468609°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417915344238281 y=0.104576110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417915344238281 × 216)
    floor (0.417915344238281 × 65536)
    floor (27388.5)     		tx = 27388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104576110839844 × 216)
    floor (0.104576110839844 × 65536)
    floor (6853.5)     		ty = 6853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27388 / 6853 ti = "16/27388/6853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27388/6853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27388 ÷ 216
    27388 ÷ 65536     		x = 0.41790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6853 ÷ 216
    6853 ÷ 65536     		y = 0.104568481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104568481445312 × 2 - 1) × π
    0.790863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48456950730751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51580104} λ = -0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48456950730751))-π/2
    2×atan(11.9959549721478)-π/2
    2×1.48762718882079-π/2
    2.97525437764157-1.57079632675     		φ = 1.40445805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40445805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.469519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27388 KachelY 6853 -0.51580104 1.40445805 -29.553223 80.469519
    Oben rechts KachelX + 1 27389 KachelY 6853 -0.51570517 1.40445805 -29.547730 80.469519
    Unten links KachelX 27388 KachelY + 1 6854 -0.51580104 1.40444218 -29.553223 80.468609
    Unten rechts KachelX + 1 27389 KachelY + 1 6854 -0.51570517 1.40444218 -29.547730 80.468609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40445805-1.40444218) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dl = 101.107769999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40445805-1.40444218) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dr = 101.107769999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51580104--0.51570517) × cos(1.40445805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165572284304764 × 6371000     		do = 101.129526304311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51580104--0.51570517) × cos(1.40444218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16558793524073 × 6371000     		du = 101.139085704587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40445805)-sin(1.40444218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165572284304764-0.16558793524073)×R²
    abs(-0.51570517--0.51580104)×1.5650935965561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5650935965561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5650935965561e-05×40589641000000     		ar = 10225.4641505446m²