Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27388 / 21337
↖ ↑ ↗
← N 53.037910°
W 29.553223°		 ← 367.26 m → N 53.037910°
W 29.547730°		 →
↑
367.29 m
↓
↑
367.29 m
↓
N 53.034607°
W 29.553223°		 ← 367.29 m →
134 895 m²		 N 53.034607°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417915344238281 y=0.325584411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417915344238281 × 216)
    floor (0.417915344238281 × 65536)
    floor (27388.5)     		tx = 27388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325584411621094 × 216)
    floor (0.325584411621094 × 65536)
    floor (21337.5)     		ty = 21337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27388 / 21337 ti = "16/27388/21337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27388/21337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27388 ÷ 216
    27388 ÷ 65536     		x = 0.41790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21337 ÷ 216
    21337 ÷ 65536     		y = 0.325576782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325576782226562 × 2 - 1) × π
    0.348846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09593339911372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51580104} λ = -0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09593339911372))-π/2
    2×atan(2.99197408640469)-π/2
    2×1.24824124408948-π/2
    2.49648248817896-1.57079632675     		φ = 0.92568616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92568616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.037910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27388 KachelY 21337 -0.51580104 0.92568616 -29.553223 53.037910
    Oben rechts KachelX + 1 27389 KachelY 21337 -0.51570517 0.92568616 -29.547730 53.037910
    Unten links KachelX 27388 KachelY + 1 21338 -0.51580104 0.92562851 -29.553223 53.034607
    Unten rechts KachelX + 1 27389 KachelY + 1 21338 -0.51570517 0.92562851 -29.547730 53.034607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92568616-0.92562851) × R
    5.76500000000202e-05 × 6371000     		dl = 367.288150000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92568616-0.92562851) × R
    5.76500000000202e-05 × 6371000     		dr = 367.288150000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51580104--0.51570517) × cos(0.92568616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6012864691257 × 6371000     		do = 367.258421608452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51580104--0.51570517) × cos(0.92562851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601332532409484 × 6371000     		du = 367.286556498834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92568616)-sin(0.92562851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6012864691257-0.601332532409484)×R²
    abs(-0.51570517--0.51580104)×4.60632837838704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60632837838704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60632837838704e-05×40589641000000     		ar = 134894.833087962m²