Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27387 / 7453
↖ ↑ ↗
← N 79.908042°
W 29.558716°		 ← 107.03 m → N 79.908042°
W 29.553223°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
N 79.907079°
W 29.558716°		 ← 107.04 m →
11 463 m²		 N 79.907079°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417900085449219 y=0.113731384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417900085449219 × 216)
    floor (0.417900085449219 × 65536)
    floor (27387.5)     		tx = 27387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113731384277344 × 216)
    floor (0.113731384277344 × 65536)
    floor (7453.5)     		ty = 7453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27387 / 7453 ti = "16/27387/7453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27387/7453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27387 ÷ 216
    27387 ÷ 65536     		x = 0.417892456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7453 ÷ 216
    7453 ÷ 65536     		y = 0.113723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417892456054688 × 2 - 1) × π
    -0.164215087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51589691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113723754882812 × 2 - 1) × π
    0.772552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42704522776344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51589691} λ = -0.51589691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42704522776344))-π/2
    2×atan(11.3253687071678)-π/2
    2×1.48272738103009-π/2
    2.96545476206018-1.57079632675     		φ = 1.39465844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51589691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.558716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39465844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.908042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27387 KachelY 7453 -0.51589691 1.39465844 -29.558716 79.908042
    Oben rechts KachelX + 1 27388 KachelY 7453 -0.51580104 1.39465844 -29.553223 79.908042
    Unten links KachelX 27387 KachelY + 1 7454 -0.51589691 1.39464163 -29.558716 79.907079
    Unten rechts KachelX + 1 27388 KachelY + 1 7454 -0.51580104 1.39464163 -29.553223 79.907079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39465844-1.39464163) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39465844-1.39464163) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51589691--0.51580104) × cos(1.39465844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175228531960589 × 6371000     		do = 107.027444276579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51589691--0.51580104) × cos(1.39464163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175245081847914 × 6371000     		du = 107.037552745353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39465844)-sin(1.39464163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175228531960589-0.175245081847914)×R²
    abs(-0.51580104--0.51589691)×1.65498873257175e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65498873257175e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65498873257175e-05×40589641000000     		ar = 11462.807047353m²