Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27386 / 9434
↖ ↑ ↗
← N 77.811731°
W 29.564209°		 ← 128.97 m → N 77.811731°
W 29.558716°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 77.810571°
W 29.564209°		 ← 128.98 m →
16 639 m²		 N 77.810571°
W 29.558716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417884826660156 y=0.143959045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417884826660156 × 216)
    floor (0.417884826660156 × 65536)
    floor (27386.5)     		tx = 27386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143959045410156 × 216)
    floor (0.143959045410156 × 65536)
    floor (9434.5)     		ty = 9434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27386 / 9434 ti = "16/27386/9434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27386/9434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27386 ÷ 216
    27386 ÷ 65536     		x = 0.417877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9434 ÷ 216
    9434 ÷ 65536     		y = 0.143951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143951416015625 × 2 - 1) × π
    0.71209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23711923146878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51599279} λ = -0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23711923146878))-π/2
    2×atan(9.36631021368301)-π/2
    2×1.4644336160415-π/2
    2.928867232083-1.57079632675     		φ = 1.35807091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35807091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.811731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27386 KachelY 9434 -0.51599279 1.35807091 -29.564209 77.811731
    Oben rechts KachelX + 1 27387 KachelY 9434 -0.51589691 1.35807091 -29.558716 77.811731
    Unten links KachelX 27386 KachelY + 1 9435 -0.51599279 1.35805066 -29.564209 77.810571
    Unten rechts KachelX + 1 27387 KachelY + 1 9435 -0.51589691 1.35805066 -29.558716 77.810571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35807091-1.35805066) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35807091-1.35805066) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51599279--0.51589691) × cos(1.35807091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211124664218301 × 6371000     		do = 128.965813602167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51599279--0.51589691) × cos(1.35805066) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211144457722657 × 6371000     		du = 128.977904493598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35807091)-sin(1.35805066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211124664218301-0.211144457722657)×R²
    abs(-0.51589691--0.51599279)×1.97935043564079e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.97935043564079e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.97935043564079e-05×40589641000000     		ar = 16639.0142090178m²