Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27384 / 9446
↖ ↑ ↗
← N 77.797806°
W 29.575196°		 ← 129.11 m → N 77.797806°
W 29.569702°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 77.796645°
W 29.575196°		 ← 129.12 m →
16 666 m²		 N 77.796645°
W 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417854309082031 y=0.144142150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417854309082031 × 216)
    floor (0.417854309082031 × 65536)
    floor (27384.5)     		tx = 27384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144142150878906 × 216)
    floor (0.144142150878906 × 65536)
    floor (9446.5)     		ty = 9446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27384 / 9446 ti = "16/27384/9446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27384/9446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27384 ÷ 216
    27384 ÷ 65536     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9446 ÷ 216
    9446 ÷ 65536     		y = 0.144134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144134521484375 × 2 - 1) × π
    0.71173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2359687458779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2359687458779))-π/2
    2×atan(9.35554060507011)-π/2
    2×1.46431209978511-π/2
    2.92862419957021-1.57079632675     		φ = 1.35782787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35782787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.797806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27384 KachelY 9446 -0.51618454 1.35782787 -29.575196 77.797806
    Oben rechts KachelX + 1 27385 KachelY 9446 -0.51608866 1.35782787 -29.569702 77.797806
    Unten links KachelX 27384 KachelY + 1 9447 -0.51618454 1.35780761 -29.575196 77.796645
    Unten rechts KachelX + 1 27385 KachelY + 1 9447 -0.51608866 1.35780761 -29.569702 77.796645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35782787-1.35780761) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35782787-1.35780761) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.35782787) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211362219650665 × 6371000     		do = 129.110924689759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.35780761) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21138202188936 × 6371000     		du = 129.123020916573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35782787)-sin(1.35780761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211362219650665-0.21138202188936)×R²
    abs(-0.51608866--0.51618454)×1.98022386955765e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.98022386955765e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.98022386955765e-05×40589641000000     		ar = 16665.9617754749m²