Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27384 / 7496
↖ ↑ ↗
← N 79.866568°
W 29.575196°		 ← 107.47 m → N 79.866568°
W 29.569702°		 →
↑
107.42 m
↓
↑
107.42 m
↓
N 79.865602°
W 29.575196°		 ← 107.48 m →
11 545 m²		 N 79.865602°
W 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417854309082031 y=0.114387512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417854309082031 × 216)
    floor (0.417854309082031 × 65536)
    floor (27384.5)     		tx = 27384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114387512207031 × 216)
    floor (0.114387512207031 × 65536)
    floor (7496.5)     		ty = 7496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27384 / 7496 ti = "16/27384/7496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27384/7496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27384 ÷ 216
    27384 ÷ 65536     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7496 ÷ 216
    7496 ÷ 65536     		y = 0.1143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1143798828125 × 2 - 1) × π
    0.771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42292265439612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42292265439612))-π/2
    2×atan(11.2787751524249)-π/2
    2×1.4823654508103-π/2
    2.96473090162061-1.57079632675     		φ = 1.39393457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39393457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.866568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27384 KachelY 7496 -0.51618454 1.39393457 -29.575196 79.866568
    Oben rechts KachelX + 1 27385 KachelY 7496 -0.51608866 1.39393457 -29.569702 79.866568
    Unten links KachelX 27384 KachelY + 1 7497 -0.51618454 1.39391771 -29.575196 79.865602
    Unten rechts KachelX + 1 27385 KachelY + 1 7497 -0.51608866 1.39391771 -29.569702 79.865602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39393457-1.39391771) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dl = 107.415060000755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39393457-1.39391771) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dr = 107.415060000755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.39393457) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175941156118066 × 6371000     		do = 107.473915607686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.39391771) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.175957753088616 × 6371000     		du = 107.48405389171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39393457)-sin(1.39391771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175941156118066-0.175957753088616)×R²
    abs(-0.51608866--0.51618454)×1.65969705501479e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65969705501479e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65969705501479e-05×40589641000000     		ar = 11544.8615961085m²