Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27384 / 6390
↖ ↑ ↗
← N 80.881537°
W 29.575196°		 ← 96.81 m → N 80.881537°
W 29.569702°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
N 80.880666°
W 29.575196°		 ← 96.81 m →
9 369 m²		 N 80.880666°
W 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417854309082031 y=0.0975112915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417854309082031 × 216)
    floor (0.417854309082031 × 65536)
    floor (27384.5)     		tx = 27384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975112915039062 × 216)
    floor (0.0975112915039062 × 65536)
    floor (6390.5)     		ty = 6390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27384 / 6390 ti = "16/27384/6390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27384/6390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27384 ÷ 216
    27384 ÷ 65536     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6390 ÷ 216
    6390 ÷ 65536     		y = 0.097503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097503662109375 × 2 - 1) × π
    0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52895907635568))-π/2
    2×atan(12.5404456939526)-π/2
    2×1.49122272310939-π/2
    2.98244544621879-1.57079632675     		φ = 1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27384 KachelY 6390 -0.51618454 1.41164912 -29.575196 80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 27385 KachelY 6390 -0.51608866 1.41164912 -29.569702 80.881537
    Unten links KachelX 27384 KachelY + 1 6391 -0.51618454 1.41163393 -29.575196 80.880666
    Unten rechts KachelX + 1 27385 KachelY + 1 6391 -0.51608866 1.41163393 -29.569702 80.880666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41164912-1.41163393) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41164912-1.41163393) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.41164912) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 96.8054506751319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51608866) × cos(1.41163393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158491246087054 × 6371000     		du = 96.8146122393696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41164912)-sin(1.41163393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.158491246087054)×R²
    abs(-0.51608866--0.51618454)×1.49980224943558e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.49980224943558e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.49980224943558e-05×40589641000000     		ar = 9368.83823159228m²