Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27383 / 7545
↖ ↑ ↗
← N 79.819101°
W 29.580689°		 ← 107.96 m → N 79.819101°
W 29.575196°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 79.818130°
W 29.580689°		 ← 107.97 m →
11 659 m²		 N 79.818130°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417839050292969 y=0.115135192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417839050292969 × 216)
    floor (0.417839050292969 × 65536)
    floor (27383.5)     		tx = 27383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115135192871094 × 216)
    floor (0.115135192871094 × 65536)
    floor (7545.5)     		ty = 7545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27383 / 7545 ti = "16/27383/7545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27383/7545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27383 ÷ 216
    27383 ÷ 65536     		x = 0.417831420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7545 ÷ 216
    7545 ÷ 65536     		y = 0.115127563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417831420898438 × 2 - 1) × π
    -0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115127563476562 × 2 - 1) × π
    0.769744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41822483823335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51628041} λ = -0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41822483823335))-π/2
    2×atan(11.2259138038849)-π/2
    2×1.48195122420105-π/2
    2.9639024484021-1.57079632675     		φ = 1.39310612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39310612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.819101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27383 KachelY 7545 -0.51628041 1.39310612 -29.580689 79.819101
    Oben rechts KachelX + 1 27384 KachelY 7545 -0.51618454 1.39310612 -29.575196 79.819101
    Unten links KachelX 27383 KachelY + 1 7546 -0.51628041 1.39308917 -29.580689 79.818130
    Unten rechts KachelX + 1 27384 KachelY + 1 7546 -0.51618454 1.39308917 -29.575196 79.818130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39310612-1.39308917) × R
    1.69499999997935e-05 × 6371000     		dl = 107.988449998685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39310612-1.39308917) × R
    1.69499999997935e-05 × 6371000     		dr = 107.988449998685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51628041--0.51618454) × cos(1.39310612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176756622395879 × 6371000     		do = 107.960783225909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51628041--0.51618454) × cos(1.39308917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176773305485774 × 6371000     		du = 107.970973053183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39310612)-sin(1.39308917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176756622395879-0.176773305485774)×R²
    abs(-0.51618454--0.51628041)×1.6683089895303e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6683089895303e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6683089895303e-05×40589641000000     		ar = 11659.0678329829m²