Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27383 / 7457
↖ ↑ ↗
← N 79.904191°
W 29.580689°		 ← 107.07 m → N 79.904191°
W 29.575196°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 79.903228°
W 29.580689°		 ← 107.08 m →
11 460 m²		 N 79.903228°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417839050292969 y=0.113792419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417839050292969 × 216)
    floor (0.417839050292969 × 65536)
    floor (27383.5)     		tx = 27383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113792419433594 × 216)
    floor (0.113792419433594 × 65536)
    floor (7457.5)     		ty = 7457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27383 / 7457 ti = "16/27383/7457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27383/7457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27383 ÷ 216
    27383 ÷ 65536     		x = 0.417831420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7457 ÷ 216
    7457 ÷ 65536     		y = 0.113784790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417831420898438 × 2 - 1) × π
    -0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113784790039062 × 2 - 1) × π
    0.772430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42666173256648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51628041} λ = -0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42666173256648))-π/2
    2×atan(11.3210263153612)-π/2
    2×1.48269377503526-π/2
    2.96538755007052-1.57079632675     		φ = 1.39459122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39459122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.904191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27383 KachelY 7457 -0.51628041 1.39459122 -29.580689 79.904191
    Oben rechts KachelX + 1 27384 KachelY 7457 -0.51618454 1.39459122 -29.575196 79.904191
    Unten links KachelX 27383 KachelY + 1 7458 -0.51628041 1.39457442 -29.580689 79.903228
    Unten rechts KachelX + 1 27384 KachelY + 1 7458 -0.51618454 1.39457442 -29.575196 79.903228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39459122-1.39457442) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39459122-1.39457442) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51628041--0.51618454) × cos(1.39459122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175294711522432 × 6371000     		do = 107.067865943577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51628041--0.51618454) × cos(1.39457442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175311251366578 × 6371000     		du = 107.077968278099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39459122)-sin(1.39457442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175294711522432-0.175311251366578)×R²
    abs(-0.51618454--0.51628041)×1.65398441455411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65398441455411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65398441455411e-05×40589641000000     		ar = 11460.314122891m²