Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27381 / 7459
↖ ↑ ↗
← N 79.902265°
W 29.591675°		 ← 107.10 m → N 79.902265°
W 29.586181°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
N 79.901302°
W 29.591675°		 ← 107.11 m →
11 470 m²		 N 79.901302°
W 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417808532714844 y=0.113822937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417808532714844 × 216)
    floor (0.417808532714844 × 65536)
    floor (27381.5)     		tx = 27381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113822937011719 × 216)
    floor (0.113822937011719 × 65536)
    floor (7459.5)     		ty = 7459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27381 / 7459 ti = "16/27381/7459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27381/7459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27381 ÷ 216
    27381 ÷ 65536     		x = 0.417800903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7459 ÷ 216
    7459 ÷ 65536     		y = 0.113815307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417800903320312 × 2 - 1) × π
    -0.164398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51647216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113815307617188 × 2 - 1) × π
    0.772369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.426469984968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51647216} λ = -0.51647216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.426469984968))-π/2
    2×atan(11.3188557438605)-π/2
    2×1.48267696727917-π/2
    2.96535393455834-1.57079632675     		φ = 1.39455761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51647216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.591675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39455761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.902265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27381 KachelY 7459 -0.51647216 1.39455761 -29.591675 79.902265
    Oben rechts KachelX + 1 27382 KachelY 7459 -0.51637628 1.39455761 -29.586181 79.902265
    Unten links KachelX 27381 KachelY + 1 7460 -0.51647216 1.39454080 -29.591675 79.901302
    Unten rechts KachelX + 1 27382 KachelY + 1 7460 -0.51637628 1.39454080 -29.586181 79.901302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39455761-1.39454080) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39455761-1.39454080) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51647216--0.51637628) × cos(1.39455761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175327801006345 × 6371000     		do = 107.099246729801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51647216--0.51637628) × cos(1.39454080) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175344350596569 × 6371000     		du = 107.109356071483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39455761)-sin(1.39454080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175327801006345-0.175344350596569)×R²
    abs(-0.51637628--0.51647216)×1.65495902235413e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65495902235413e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65495902235413e-05×40589641000000     		ar = 11470.4968862765m²