Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27380 / 6396
↖ ↑ ↗
← N 80.876312°
W 29.597168°		 ← 96.85 m → N 80.876312°
W 29.591675°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 80.875441°
W 29.597168°		 ← 96.86 m →
9 379 m²		 N 80.875441°
W 29.591675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417793273925781 y=0.0976028442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417793273925781 × 216)
    floor (0.417793273925781 × 65536)
    floor (27380.5)     		tx = 27380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976028442382812 × 216)
    floor (0.0976028442382812 × 65536)
    floor (6396.5)     		ty = 6396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27380 / 6396 ti = "16/27380/6396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27380/6396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27380 ÷ 216
    27380 ÷ 65536     		x = 0.41778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6396 ÷ 216
    6396 ÷ 65536     		y = 0.09759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09759521484375 × 2 - 1) × π
    0.8048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52838383356024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51656803} λ = -0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52838383356024))-π/2
    2×atan(12.5332339673613)-π/2
    2×1.49117712900243-π/2
    2.98235425800485-1.57079632675     		φ = 1.41155793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41155793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.876312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27380 KachelY 6396 -0.51656803 1.41155793 -29.597168 80.876312
    Oben rechts KachelX + 1 27381 KachelY 6396 -0.51647216 1.41155793 -29.591675 80.876312
    Unten links KachelX 27380 KachelY + 1 6397 -0.51656803 1.41154273 -29.597168 80.875441
    Unten rechts KachelX + 1 27381 KachelY + 1 6397 -0.51647216 1.41154273 -29.591675 80.875441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41155793-1.41154273) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41155793-1.41154273) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51656803--0.51647216) × cos(1.41155793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158566285018328 × 6371000     		do = 96.8503476235269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51656803--0.51647216) × cos(1.41154273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158581292694691 × 6371000     		du = 96.8595141287057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41155793)-sin(1.41154273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158566285018328-0.158581292694691)×R²
    abs(-0.51647216--0.51656803)×1.50076763632823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50076763632823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50076763632823e-05×40589641000000     		ar = 9379.35402222407m²