Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27379 / 21557
↖ ↑ ↗
← N 52.305120°
W 29.602661°		 ← 373.47 m → N 52.305120°
W 29.597168°		 →
↑
373.53 m
↓
↑
373.53 m
↓
N 52.301761°
W 29.602661°		 ← 373.50 m →
139 508 m²		 N 52.301761°
W 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417778015136719 y=0.328941345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417778015136719 × 216)
    floor (0.417778015136719 × 65536)
    floor (27379.5)     		tx = 27379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328941345214844 × 216)
    floor (0.328941345214844 × 65536)
    floor (21557.5)     		ty = 21557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27379 / 21557 ti = "16/27379/21557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27379/21557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27379 ÷ 216
    27379 ÷ 65536     		x = 0.417770385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21557 ÷ 216
    21557 ÷ 65536     		y = 0.328933715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417770385742188 × 2 - 1) × π
    -0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328933715820312 × 2 - 1) × π
    0.342132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0748411632809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51666390} λ = -0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0748411632809))-π/2
    2×atan(2.92952754703298)-π/2
    2×1.24184644252494-π/2
    2.48369288504987-1.57079632675     		φ = 0.91289656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91289656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.305120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27379 KachelY 21557 -0.51666390 0.91289656 -29.602661 52.305120
    Oben rechts KachelX + 1 27380 KachelY 21557 -0.51656803 0.91289656 -29.597168 52.305120
    Unten links KachelX 27379 KachelY + 1 21558 -0.51666390 0.91283793 -29.602661 52.301761
    Unten rechts KachelX + 1 27380 KachelY + 1 21558 -0.51656803 0.91283793 -29.597168 52.301761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91289656-0.91283793) × R
    5.86299999999484e-05 × 6371000     		dl = 373.531729999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91289656-0.91283793) × R
    5.86299999999484e-05 × 6371000     		dr = 373.531729999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51666390--0.51656803) × cos(0.91289656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611456333054388 × 6371000     		do = 373.470050118659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51666390--0.51656803) × cos(0.91283793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611502724642922 × 6371000     		du = 373.498385533566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91289656)-sin(0.91283793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611456333054388-0.611502724642922)×R²
    abs(-0.51656803--0.51666390)×4.63915885341448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63915885341448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63915885341448e-05×40589641000000     		ar = 139508.206051752m²