Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27378 / 9437
↖ ↑ ↗
← N 77.808251°
W 29.608154°		 ← 129 m → N 77.808251°
W 29.602661°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 77.807091°
W 29.608154°		 ← 129.01 m →
16 644 m²		 N 77.807091°
W 29.602661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417762756347656 y=0.144004821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417762756347656 × 216)
    floor (0.417762756347656 × 65536)
    floor (27378.5)     		tx = 27378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144004821777344 × 216)
    floor (0.144004821777344 × 65536)
    floor (9437.5)     		ty = 9437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27378 / 9437 ti = "16/27378/9437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27378/9437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27378 ÷ 216
    27378 ÷ 65536     		x = 0.417755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9437 ÷ 216
    9437 ÷ 65536     		y = 0.143997192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.16448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51675978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143997192382812 × 2 - 1) × π
    0.712005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23683161007106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51675978} λ = -0.51675978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23683161007106))-π/2
    2×atan(9.36361664982974)-π/2
    2×1.46440324978699-π/2
    2.92880649957399-1.57079632675     		φ = 1.35801017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51675978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.608154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35801017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.808251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27378 KachelY 9437 -0.51675978 1.35801017 -29.608154 77.808251
    Oben rechts KachelX + 1 27379 KachelY 9437 -0.51666390 1.35801017 -29.602661 77.808251
    Unten links KachelX 27378 KachelY + 1 9438 -0.51675978 1.35798992 -29.608154 77.807091
    Unten rechts KachelX + 1 27379 KachelY + 1 9438 -0.51666390 1.35798992 -29.602661 77.807091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35801017-1.35798992) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35801017-1.35798992) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51675978--0.51666390) × cos(1.35801017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211184034697151 × 6371000     		do = 129.002080147191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51675978--0.51666390) × cos(1.35798992) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211203827941779 × 6371000     		du = 129.014170879966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35801017)-sin(1.35798992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211184034697151-0.211203827941779)×R²
    abs(-0.51666390--0.51675978)×1.97932446275306e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97932446275306e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97932446275306e-05×40589641000000     		ar = 16643.6930453156m²