Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27376 / 6772
↖ ↑ ↗
← N 80.542908°
W 29.619141°		 ← 100.37 m → N 80.542908°
W 29.613647°		 →
↑
100.41 m
↓
↑
100.41 m
↓
N 80.542005°
W 29.619141°		 ← 100.38 m →
10 078 m²		 N 80.542005°
W 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417732238769531 y=0.103340148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417732238769531 × 216)
    floor (0.417732238769531 × 65536)
    floor (27376.5)     		tx = 27376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103340148925781 × 216)
    floor (0.103340148925781 × 65536)
    floor (6772.5)     		ty = 6772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27376 / 6772 ti = "16/27376/6772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27376/6772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27376 ÷ 216
    27376 ÷ 65536     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6772 ÷ 216
    6772 ÷ 65536     		y = 0.10333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10333251953125 × 2 - 1) × π
    0.7933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49233528504596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49233528504596))-π/2
    2×atan(12.0894755522441)-π/2
    2×1.48826763184496-π/2
    2.97653526368992-1.57079632675     		φ = 1.40573894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40573894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.542908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27376 KachelY 6772 -0.51695153 1.40573894 -29.619141 80.542908
    Oben rechts KachelX + 1 27377 KachelY 6772 -0.51685565 1.40573894 -29.613647 80.542908
    Unten links KachelX 27376 KachelY + 1 6773 -0.51695153 1.40572318 -29.619141 80.542005
    Unten rechts KachelX + 1 27377 KachelY + 1 6773 -0.51685565 1.40572318 -29.613647 80.542005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40573894-1.40572318) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dl = 100.406959999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40573894-1.40572318) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dr = 100.406959999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51685565) × cos(1.40573894) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164308938107829 × 6371000     		do = 100.368358020446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51685565) × cos(1.40572318) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164324483892125 × 6371000     		du = 100.377854185791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40573894)-sin(1.40572318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164308938107829-0.164324483892125)×R²
    abs(-0.51685565--0.51695153)×1.55457842961892e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.55457842961892e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.55457842961892e-05×40589641000000     		ar = 10078.1584495192m²