Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27376 / 5967
↖ ↑ ↗
← N 81.242496°
W 29.619141°		 ← 93 m → N 81.242496°
W 29.613647°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
N 81.241660°
W 29.619141°		 ← 93.01 m →
8 651 m²		 N 81.241660°
W 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417732238769531 y=0.0910568237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417732238769531 × 216)
    floor (0.417732238769531 × 65536)
    floor (27376.5)     		tx = 27376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910568237304688 × 216)
    floor (0.0910568237304688 × 65536)
    floor (5967.5)     		ty = 5967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27376 / 5967 ti = "16/27376/5967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27376/5967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27376 ÷ 216
    27376 ÷ 65536     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5967 ÷ 216
    5967 ÷ 65536     		y = 0.0910491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0910491943359375 × 2 - 1) × π
    0.817901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56951369343425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56951369343425))-π/2
    2×atan(13.0594719894666)-π/2
    2×1.49437268694512-π/2
    2.98874537389024-1.57079632675     		φ = 1.41794905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41794905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.242496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27376 KachelY 5967 -0.51695153 1.41794905 -29.619141 81.242496
    Oben rechts KachelX + 1 27377 KachelY 5967 -0.51685565 1.41794905 -29.613647 81.242496
    Unten links KachelX 27376 KachelY + 1 5968 -0.51695153 1.41793445 -29.619141 81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 27377 KachelY + 1 5968 -0.51685565 1.41793445 -29.613647 81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41794905-1.41793445) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41794905-1.41793445) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51685565) × cos(1.41794905) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.152252827869383 × 6371000     		do = 93.0038652382444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51685565) × cos(1.41793445) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 93.0126796851078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41794905)-sin(1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152252827869383-0.152267257640206)×R²
    abs(-0.51685565--0.51695153)×1.442977082311e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.442977082311e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.442977082311e-05×40589641000000     		ar = 8651.31327670546m²