Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27372 / 6788
↖ ↑ ↗
← N 80.528456°
W 29.641113°		 ← 100.51 m → N 80.528456°
W 29.635620°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 80.527552°
W 29.641113°		 ← 100.52 m →
10 105 m²		 N 80.527552°
W 29.635620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417671203613281 y=0.103584289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417671203613281 × 216)
    floor (0.417671203613281 × 65536)
    floor (27372.5)     		tx = 27372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103584289550781 × 216)
    floor (0.103584289550781 × 65536)
    floor (6788.5)     		ty = 6788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27372 / 6788 ti = "16/27372/6788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27372/6788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27372 ÷ 216
    27372 ÷ 65536     		x = 0.41766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6788 ÷ 216
    6788 ÷ 65536     		y = 0.10357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10357666015625 × 2 - 1) × π
    0.7928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49080130425812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51733502} λ = -0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49080130425812))-π/2
    2×atan(12.0709447455963)-π/2
    2×1.48814151307365-π/2
    2.9762830261473-1.57079632675     		φ = 1.40548670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40548670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.528456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27372 KachelY 6788 -0.51733502 1.40548670 -29.641113 80.528456
    Oben rechts KachelX + 1 27373 KachelY 6788 -0.51723915 1.40548670 -29.635620 80.528456
    Unten links KachelX 27372 KachelY + 1 6789 -0.51733502 1.40547092 -29.641113 80.527552
    Unten rechts KachelX + 1 27373 KachelY + 1 6789 -0.51723915 1.40547092 -29.635620 80.527552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40548670-1.40547092) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40548670-1.40547092) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51733502--0.51723915) × cos(1.40548670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164557744666061 × 6371000     		do = 100.509857900811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51733502--0.51723915) × cos(1.40547092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164573309523951 × 6371000     		du = 100.519364725652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40548670)-sin(1.40547092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164557744666061-0.164573309523951)×R²
    abs(-0.51723915--0.51733502)×1.55648578902545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55648578902545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55648578902545e-05×40589641000000     		ar = 10105.1741294732m²