Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27371 / 9523
↖ ↑ ↗
← N 77.708082°
W 29.646606°		 ← 130.03 m → N 77.708082°
W 29.641113°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 77.706913°
W 29.646606°		 ← 130.04 m →
16 909 m²		 N 77.706913°
W 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417655944824219 y=0.145317077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417655944824219 × 216)
    floor (0.417655944824219 × 65536)
    floor (27371.5)     		tx = 27371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145317077636719 × 216)
    floor (0.145317077636719 × 65536)
    floor (9523.5)     		ty = 9523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27371 / 9523 ti = "16/27371/9523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27371/9523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27371 ÷ 216
    27371 ÷ 65536     		x = 0.417648315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9523 ÷ 216
    9523 ÷ 65536     		y = 0.145309448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417648315429688 × 2 - 1) × π
    -0.164703369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51743089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145309448242188 × 2 - 1) × π
    0.709381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22858646333641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51743089} λ = -0.51743089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22858646333641))-π/2
    2×atan(9.28672966440324)-π/2
    2×1.46352911086999-π/2
    2.92705822173999-1.57079632675     		φ = 1.35626189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51743089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.646606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35626189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.708082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27371 KachelY 9523 -0.51743089 1.35626189 -29.646606 77.708082
    Oben rechts KachelX + 1 27372 KachelY 9523 -0.51733502 1.35626189 -29.641113 77.708082
    Unten links KachelX 27371 KachelY + 1 9524 -0.51743089 1.35624148 -29.646606 77.706913
    Unten rechts KachelX + 1 27372 KachelY + 1 9524 -0.51733502 1.35624148 -29.641113 77.706913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35626189-1.35624148) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35626189-1.35624148) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51743089--0.51733502) × cos(1.35626189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212892560934385 × 6371000     		do = 130.032172542699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51743089--0.51733502) × cos(1.35624148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212912503003345 × 6371000     		du = 130.044352914528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35626189)-sin(1.35624148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212892560934385-0.212912503003345)×R²
    abs(-0.51733502--0.51743089)×1.9942068959472e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9942068959472e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9942068959472e-05×40589641000000     		ar = 16909.1496842716m²