Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2737 / 1137
↖ ↑ ↗
← N 82.352877°
W119.860840°		 ← 325.13 m → N 82.352877°
W119.838867°		 →
↑
325.18 m
↓
↑
325.18 m
↓
N 82.349953°
W119.860840°		 ← 325.25 m →
105 745 m²		 N 82.349953°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167083740234375 y=0.069427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167083740234375 × 214)
    floor (0.167083740234375 × 16384)
    floor (2737.5)     		tx = 2737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.069427490234375 × 214)
    floor (0.069427490234375 × 16384)
    floor (1137.5)     		ty = 1137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2737 / 1137 ti = "14/2737/1137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2737/1137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2737 ÷ 214
    2737 ÷ 16384     		x = 0.16705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1137 ÷ 214
    1137 ÷ 16384     		y = 0.06939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.6658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09196630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06939697265625 × 2 - 1) × π
    0.8612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70555861455597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09196630} λ = -2.09196630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70555861455597))-π/2
    2×atan(14.9626727231874)-π/2
    2×1.50406258787079-π/2
    3.00812517574158-1.57079632675     		φ = 1.43732885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09196630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43732885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.352877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2737 KachelY 1137 -2.09196630 1.43732885 -119.860840 82.352877
    Oben rechts KachelX + 1 2738 KachelY 1137 -2.09158280 1.43732885 -119.838867 82.352877
    Unten links KachelX 2737 KachelY + 1 1138 -2.09196630 1.43727781 -119.860840 82.349953
    Unten rechts KachelX + 1 2738 KachelY + 1 1138 -2.09158280 1.43727781 -119.838867 82.349953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43732885-1.43727781) × R
    5.10400000000022e-05 × 6371000     		dl = 325.175840000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43732885-1.43727781) × R
    5.10400000000022e-05 × 6371000     		dr = 325.175840000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09196630--2.09158280) × cos(1.43732885) × R
    0.000383500000000314 × 0.133071574266525 × 6371000     		do = 325.130916366821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09196630--2.09158280) × cos(1.43727781) × R
    0.000383500000000314 × 0.133122160165373 × 6371000     		du = 325.254511805879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43732885)-sin(1.43727781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133071574266525-0.133122160165373)×R²
    abs(-2.09158280--2.09196630)×5.05858988478491e-05×R²
    0.000383500000000314×5.05858988478491e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.05858988478491e-05×40589641000000     		ar = 105744.813987174m²