Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27369 / 6369
↖ ↑ ↗
← N 80.899800°
W 29.657593°		 ← 96.60 m → N 80.899800°
W 29.652100°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 80.898931°
W 29.657593°		 ← 96.61 m →
9 331 m²		 N 80.898931°
W 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417625427246094 y=0.0971908569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417625427246094 × 216)
    floor (0.417625427246094 × 65536)
    floor (27369.5)     		tx = 27369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971908569335938 × 216)
    floor (0.0971908569335938 × 65536)
    floor (6369.5)     		ty = 6369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27369 / 6369 ti = "16/27369/6369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27369/6369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27369 ÷ 216
    27369 ÷ 65536     		x = 0.417617797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6369 ÷ 216
    6369 ÷ 65536     		y = 0.0971832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417617797851562 × 2 - 1) × π
    -0.164764404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51762264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0971832275390625 × 2 - 1) × π
    0.805633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53097242613972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51762264} λ = -0.51762264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53097242613972))-π/2
    2×atan(12.5657194314819)-π/2
    2×1.49138209870279-π/2
    2.98276419740557-1.57079632675     		φ = 1.41196787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51762264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.657593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41196787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.899800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27369 KachelY 6369 -0.51762264 1.41196787 -29.657593 80.899800
    Oben rechts KachelX + 1 27370 KachelY 6369 -0.51752677 1.41196787 -29.652100 80.899800
    Unten links KachelX 27369 KachelY + 1 6370 -0.51762264 1.41195271 -29.657593 80.898931
    Unten rechts KachelX + 1 27370 KachelY + 1 6370 -0.51752677 1.41195271 -29.652100 80.898931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41196787-1.41195271) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41196787-1.41195271) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51762264--0.51752677) × cos(1.41196787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158161518129904 × 6371000     		do = 96.6031209583765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51762264--0.51752677) × cos(1.41195271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158176487296659 × 6371000     		du = 96.6122639423578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41196787)-sin(1.41195271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158161518129904-0.158176487296659)×R²
    abs(-0.51752677--0.51762264)×1.49691667553631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49691667553631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49691667553631e-05×40589641000000     		ar = 9330.79214632171m²