Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27368 / 6408
↖ ↑ ↗
← N 80.865854°
W 29.663086°		 ← 96.97 m → N 80.865854°
W 29.657593°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 80.864982°
W 29.663086°		 ← 96.98 m →
9 403 m²		 N 80.864982°
W 29.657593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417610168457031 y=0.0977859497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417610168457031 × 216)
    floor (0.417610168457031 × 65536)
    floor (27368.5)     		tx = 27368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977859497070312 × 216)
    floor (0.0977859497070312 × 65536)
    floor (6408.5)     		ty = 6408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27368 / 6408 ti = "16/27368/6408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27368/6408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27368 ÷ 216
    27368 ÷ 65536     		x = 0.4176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6408 ÷ 216
    6408 ÷ 65536     		y = 0.0977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977783203125 × 2 - 1) × π
    0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51771852} λ = -0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52723334796936))-π/2
    2×atan(12.518822953696)-π/2
    2×1.49108586306452-π/2
    2.98217172612904-1.57079632675     		φ = 1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27368 KachelY 6408 -0.51771852 1.41137540 -29.663086 80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 27369 KachelY 6408 -0.51762264 1.41137540 -29.657593 80.865854
    Unten links KachelX 27368 KachelY + 1 6409 -0.51771852 1.41136018 -29.663086 80.864982
    Unten rechts KachelX + 1 27369 KachelY + 1 6409 -0.51762264 1.41136018 -29.657593 80.864982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41137540-1.41136018) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dl = 96.9666200005956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41137540-1.41136018) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dr = 96.9666200005956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51771852--0.51762264) × cos(1.41137540) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 96.9705363434186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51771852--0.51762264) × cos(1.41136018) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158761530049792 × 6371000     		du = 96.9797155979166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41137540)-sin(1.41136018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158761530049792)×R²
    abs(-0.51762264--0.51771852)×1.50269824965854e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50269824965854e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50269824965854e-05×40589641000000     		ar = 9403.35018961483m²