Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27366 / 7533
↖ ↑ ↗
← N 79.830746°
W 29.674072°		 ← 107.84 m → N 79.830746°
W 29.668579°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 79.829776°
W 29.674072°		 ← 107.85 m →
11 632 m²		 N 79.829776°
W 29.668579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417579650878906 y=0.114952087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417579650878906 × 216)
    floor (0.417579650878906 × 65536)
    floor (27366.5)     		tx = 27366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114952087402344 × 216)
    floor (0.114952087402344 × 65536)
    floor (7533.5)     		ty = 7533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27366 / 7533 ti = "16/27366/7533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27366/7533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27366 ÷ 216
    27366 ÷ 65536     		x = 0.417572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7533 ÷ 216
    7533 ÷ 65536     		y = 0.114944458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.16485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51791026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114944458007812 × 2 - 1) × π
    0.770111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41937532382423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51791026} λ = -0.51791026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41937532382423))-π/2
    2×atan(11.2388364882164)-π/2
    2×1.48205284462617-π/2
    2.96410568925233-1.57079632675     		φ = 1.39330936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51791026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.674072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39330936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.830746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27366 KachelY 7533 -0.51791026 1.39330936 -29.674072 79.830746
    Oben rechts KachelX + 1 27367 KachelY 7533 -0.51781439 1.39330936 -29.668579 79.830746
    Unten links KachelX 27366 KachelY + 1 7534 -0.51791026 1.39329243 -29.674072 79.829776
    Unten rechts KachelX + 1 27367 KachelY + 1 7534 -0.51781439 1.39329243 -29.668579 79.829776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39330936-1.39329243) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39330936-1.39329243) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51791026--0.51781439) × cos(1.39330936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176556578843941 × 6371000     		do = 107.838599070917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51791026--0.51781439) × cos(1.39329243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176573242856682 × 6371000     		du = 107.848777246099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39330936)-sin(1.39329243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176556578843941-0.176573242856682)×R²
    abs(-0.51781439--0.51791026)×1.66640127416129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66640127416129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66640127416129e-05×40589641000000     		ar = 11632.1312838299m²