Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27366 / 5923
↖ ↑ ↗
← N 81.279219°
W 29.674072°		 ← 92.61 m → N 81.279219°
W 29.668579°		 →
↑
92.63 m
↓
↑
92.63 m
↓
N 81.278386°
W 29.674072°		 ← 92.62 m →
8 579 m²		 N 81.278386°
W 29.668579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417579650878906 y=0.0903854370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417579650878906 × 216)
    floor (0.417579650878906 × 65536)
    floor (27366.5)     		tx = 27366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903854370117188 × 216)
    floor (0.0903854370117188 × 65536)
    floor (5923.5)     		ty = 5923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27366 / 5923 ti = "16/27366/5923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27366/5923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27366 ÷ 216
    27366 ÷ 65536     		x = 0.417572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5923 ÷ 216
    5923 ÷ 65536     		y = 0.0903778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.16485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51791026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0903778076171875 × 2 - 1) × π
    0.819244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57373214060081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51791026} λ = -0.51791026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57373214060081))-π/2
    2×atan(13.1146790442305)-π/2
    2×1.4946931536645-π/2
    2.98938630732899-1.57079632675     		φ = 1.41858998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51791026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.674072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41858998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.279219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27366 KachelY 5923 -0.51791026 1.41858998 -29.674072 81.279219
    Oben rechts KachelX + 1 27367 KachelY 5923 -0.51781439 1.41858998 -29.668579 81.279219
    Unten links KachelX 27366 KachelY + 1 5924 -0.51791026 1.41857544 -29.674072 81.278386
    Unten rechts KachelX + 1 27367 KachelY + 1 5924 -0.51781439 1.41857544 -29.668579 81.278386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41858998-1.41857544) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dl = 92.6343400000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41858998-1.41857544) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dr = 92.6343400000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51791026--0.51781439) × cos(1.41858998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151619338872581 × 6371000     		do = 92.607237878856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51791026--0.51781439) × cos(1.41857544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15163371075902 × 6371000     		du = 92.6160160513249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41858998)-sin(1.41857544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151619338872581-0.15163371075902)×R²
    abs(-0.51781439--0.51791026)×1.43718864393239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43718864393239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43718864393239e-05×40589641000000     		ar = 8579.01694024144m²