Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27364 / 7542
↖ ↑ ↗
← N 79.822013°
W 29.685059°		 ← 107.93 m → N 79.822013°
W 29.679566°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
N 79.821043°
W 29.685059°		 ← 107.94 m →
11 649 m²		 N 79.821043°
W 29.679566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417549133300781 y=0.115089416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417549133300781 × 216)
    floor (0.417549133300781 × 65536)
    floor (27364.5)     		tx = 27364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115089416503906 × 216)
    floor (0.115089416503906 × 65536)
    floor (7542.5)     		ty = 7542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27364 / 7542 ti = "16/27364/7542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27364/7542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27364 ÷ 216
    27364 ÷ 65536     		x = 0.41754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7542 ÷ 216
    7542 ÷ 65536     		y = 0.115081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115081787109375 × 2 - 1) × π
    0.76983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41851245963107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51810201} λ = -0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41851245963107))-π/2
    2×atan(11.2291430812863)-π/2
    2×1.48197664009651-π/2
    2.96395328019302-1.57079632675     		φ = 1.39315695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39315695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.822013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27364 KachelY 7542 -0.51810201 1.39315695 -29.685059 79.822013
    Oben rechts KachelX + 1 27365 KachelY 7542 -0.51800614 1.39315695 -29.679566 79.822013
    Unten links KachelX 27364 KachelY + 1 7543 -0.51810201 1.39314001 -29.685059 79.821043
    Unten rechts KachelX + 1 27365 KachelY + 1 7543 -0.51800614 1.39314001 -29.679566 79.821043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39315695-1.39314001) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39315695-1.39314001) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51810201--0.51800614) × cos(1.39315695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176706592506787 × 6371000     		do = 107.930225581517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51810201--0.51800614) × cos(1.39314001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176723265906351 × 6371000     		du = 107.940409490055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39315695)-sin(1.39314001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176706592506787-0.176723265906351)×R²
    abs(-0.51800614--0.51810201)×1.66733995633495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66733995633495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66733995633495e-05×40589641000000     		ar = 11648.8910821487m²