Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27363 / 21355
↖ ↑ ↗
← N 52.978416°
W 29.690551°		 ← 367.76 m → N 52.978416°
W 29.685059°		 →
↑
367.80 m
↓
↑
367.80 m
↓
N 52.975108°
W 29.690551°		 ← 367.79 m →
135 268 m²		 N 52.975108°
W 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417533874511719 y=0.325859069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417533874511719 × 216)
    floor (0.417533874511719 × 65536)
    floor (27363.5)     		tx = 27363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325859069824219 × 216)
    floor (0.325859069824219 × 65536)
    floor (21355.5)     		ty = 21355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27363 / 21355 ti = "16/27363/21355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27363/21355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27363 ÷ 216
    27363 ÷ 65536     		x = 0.417526245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21355 ÷ 216
    21355 ÷ 65536     		y = 0.325851440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417526245117188 × 2 - 1) × π
    -0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325851440429688 × 2 - 1) × π
    0.348297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0942076707274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51819788} λ = -0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0942076707274))-π/2
    2×atan(2.98681520448744)-π/2
    2×1.24772205774498-π/2
    2.49544411548996-1.57079632675     		φ = 0.92464779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92464779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.978416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27363 KachelY 21355 -0.51819788 0.92464779 -29.690551 52.978416
    Oben rechts KachelX + 1 27364 KachelY 21355 -0.51810201 0.92464779 -29.685059 52.978416
    Unten links KachelX 27363 KachelY + 1 21356 -0.51819788 0.92459006 -29.690551 52.975108
    Unten rechts KachelX + 1 27364 KachelY + 1 21356 -0.51810201 0.92459006 -29.685059 52.975108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92464779-0.92459006) × R
    5.77299999999781e-05 × 6371000     		dl = 367.79782999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92464779-0.92459006) × R
    5.77299999999781e-05 × 6371000     		dr = 367.79782999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51819788--0.51810201) × cos(0.92464779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602115837265946 × 6371000     		do = 367.764989525342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51819788--0.51810201) × cos(0.92459006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602161928399216 × 6371000     		du = 367.793141425849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92464779)-sin(0.92459006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602115837265946-0.602161928399216)×R²
    abs(-0.51810201--0.51819788)×4.6091133269921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6091133269921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6091133269921e-05×40589641000000     		ar = 135268.342239153m²