Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27361 / 5986
↖ ↑ ↗
← N 81.226591°
W 29.701538°		 ← 93.16 m → N 81.226591°
W 29.696045°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 81.225753°
W 29.701538°		 ← 93.17 m →
8 678 m²		 N 81.225753°
W 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417503356933594 y=0.0913467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417503356933594 × 216)
    floor (0.417503356933594 × 65536)
    floor (27361.5)     		tx = 27361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0913467407226562 × 216)
    floor (0.0913467407226562 × 65536)
    floor (5986.5)     		ty = 5986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27361 / 5986 ti = "16/27361/5986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27361/5986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27361 ÷ 216
    27361 ÷ 65536     		x = 0.417495727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5986 ÷ 216
    5986 ÷ 65536     		y = 0.091339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417495727539062 × 2 - 1) × π
    -0.165008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51838963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091339111328125 × 2 - 1) × π
    0.81732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56769209124869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51838963} λ = -0.51838963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56769209124869))-π/2
    2×atan(13.0357044807934)-π/2
    2×1.49423388999718-π/2
    2.98846777999435-1.57079632675     		φ = 1.41767145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51838963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.701538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41767145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.226591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27361 KachelY 5986 -0.51838963 1.41767145 -29.701538 81.226591
    Oben rechts KachelX + 1 27362 KachelY 5986 -0.51829376 1.41767145 -29.696045 81.226591
    Unten links KachelX 27361 KachelY + 1 5987 -0.51838963 1.41765683 -29.701538 81.225753
    Unten rechts KachelX + 1 27362 KachelY + 1 5987 -0.51829376 1.41765683 -29.696045 81.225753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41767145-1.41765683) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41767145-1.41765683) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51838963--0.51829376) × cos(1.41767145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152527185621701 × 6371000     		do = 93.161739570253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51838963--0.51829376) × cos(1.41765683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152541634540805 × 6371000     		du = 93.1705647933315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41767145)-sin(1.41765683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152527185621701-0.152541634540805)×R²
    abs(-0.51829376--0.51838963)×1.44489191040709e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44489191040709e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44489191040709e-05×40589641000000     		ar = 8677.86994228778m²