Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2736 / 1774
↖ ↑ ↗
← N 80.245948°
W119.882812°		 ← 413.93 m → N 80.245948°
W119.860840°		 →
↑
413.99 m
↓
↑
413.99 m
↓
N 80.242225°
W119.882812°		 ← 414.08 m →
171 393 m²		 N 80.242225°
W119.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167022705078125 y=0.108306884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167022705078125 × 214)
    floor (0.167022705078125 × 16384)
    floor (2736.5)     		tx = 2736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108306884765625 × 214)
    floor (0.108306884765625 × 16384)
    floor (1774.5)     		ty = 1774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2736 / 1774 ti = "14/2736/1774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2736/1774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2736 ÷ 214
    2736 ÷ 16384     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1774 ÷ 214
    1774 ÷ 16384     		y = 0.1082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    0.783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46127217409216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46127217409216))-π/2
    2×atan(11.7197115736845)-π/2
    2×1.48567617009906-π/2
    2.97135234019811-1.57079632675     		φ = 1.40055601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40055601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.245948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2736 KachelY 1774 -2.09234979 1.40055601 -119.882812 80.245948
    Oben rechts KachelX + 1 2737 KachelY 1774 -2.09196630 1.40055601 -119.860840 80.245948
    Unten links KachelX 2736 KachelY + 1 1775 -2.09234979 1.40049103 -119.882812 80.242225
    Unten rechts KachelX + 1 2737 KachelY + 1 1775 -2.09196630 1.40049103 -119.860840 80.242225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40055601-1.40049103) × R
    6.49800000001033e-05 × 6371000     		dl = 413.987580000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40055601-1.40049103) × R
    6.49800000001033e-05 × 6371000     		dr = 413.987580000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09196630) × cos(1.40055601) × R
    0.000383489999999931 × 0.169419196751676 × 6371000     		do = 413.927487213539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09196630) × cos(1.40049103) × R
    0.000383489999999931 × 0.169483237048342 × 6371000     		du = 414.083951413511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40055601)-sin(1.40049103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169419196751676-0.169483237048342)×R²
    abs(-2.09196630--2.09234979)×6.40402966664289e-05×R²
    0.000383489999999931×6.40402966664289e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.40402966664289e-05×40589641000000     		ar = 171393.225905259m²