Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2736 / 1173
↖ ↑ ↗
← N 82.246892°
W119.882812°		 ← 329.60 m → N 82.246892°
W119.860840°		 →
↑
329.64 m
↓
↑
329.64 m
↓
N 82.243927°
W119.882812°		 ← 329.73 m →
108 669 m²		 N 82.243927°
W119.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167022705078125 y=0.071624755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167022705078125 × 214)
    floor (0.167022705078125 × 16384)
    floor (2736.5)     		tx = 2736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071624755859375 × 214)
    floor (0.071624755859375 × 16384)
    floor (1173.5)     		ty = 1173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2736 / 1173 ti = "14/2736/1173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2736/1173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2736 ÷ 214
    2736 ÷ 16384     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1173 ÷ 214
    1173 ÷ 16384     		y = 0.07159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07159423828125 × 2 - 1) × π
    0.8568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69175278746539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69175278746539))-π/2
    2×atan(14.7575200603657)-π/2
    2×1.50313769355865-π/2
    3.0062753871173-1.57079632675     		φ = 1.43547906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43547906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.246892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2736 KachelY 1173 -2.09234979 1.43547906 -119.882812 82.246892
    Oben rechts KachelX + 1 2737 KachelY 1173 -2.09196630 1.43547906 -119.860840 82.246892
    Unten links KachelX 2736 KachelY + 1 1174 -2.09234979 1.43542732 -119.882812 82.243927
    Unten rechts KachelX + 1 2737 KachelY + 1 1174 -2.09196630 1.43542732 -119.860840 82.243927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43547906-1.43542732) × R
    5.17399999999668e-05 × 6371000     		dl = 329.635539999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43547906-1.43542732) × R
    5.17399999999668e-05 × 6371000     		dr = 329.635539999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09196630) × cos(1.43547906) × R
    0.000383489999999931 × 0.134904684317674 × 6371000     		do = 329.601119965162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09196630) × cos(1.43542732) × R
    0.000383489999999931 × 0.134955951160024 × 6371000     		du = 329.726375872628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43547906)-sin(1.43542732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134904684317674-0.134955951160024)×R²
    abs(-2.09196630--2.09234979)×5.12668423499063e-05×R²
    0.000383489999999931×5.12668423499063e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.12668423499063e-05×40589641000000     		ar = 108668.887588198m²