Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27359 / 6817
↖ ↑ ↗
← N 80.502205°
W 29.712524°		 ← 100.79 m → N 80.502205°
W 29.707031°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 80.501299°
W 29.712524°		 ← 100.80 m →
10 159 m²		 N 80.501299°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417472839355469 y=0.104026794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417472839355469 × 216)
    floor (0.417472839355469 × 65536)
    floor (27359.5)     		tx = 27359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104026794433594 × 216)
    floor (0.104026794433594 × 65536)
    floor (6817.5)     		ty = 6817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27359 / 6817 ti = "16/27359/6817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27359/6817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27359 ÷ 216
    27359 ÷ 65536     		x = 0.417465209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6817 ÷ 216
    6817 ÷ 65536     		y = 0.104019165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417465209960938 × 2 - 1) × π
    -0.165069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51858138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104019165039062 × 2 - 1) × π
    0.791961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48802096408015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51858138} λ = -0.51858138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48802096408015))-π/2
    2×atan(12.0374300256852)-π/2
    2×1.48791243585486-π/2
    2.97582487170973-1.57079632675     		φ = 1.40502854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51858138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.712524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40502854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.502205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27359 KachelY 6817 -0.51858138 1.40502854 -29.712524 80.502205
    Oben rechts KachelX + 1 27360 KachelY 6817 -0.51848551 1.40502854 -29.707031 80.502205
    Unten links KachelX 27359 KachelY + 1 6818 -0.51858138 1.40501272 -29.712524 80.501299
    Unten rechts KachelX + 1 27360 KachelY + 1 6818 -0.51848551 1.40501272 -29.707031 80.501299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40502854-1.40501272) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40502854-1.40501272) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51858138--0.51848551) × cos(1.40502854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16500964149046 × 6371000     		do = 100.785870954455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51858138--0.51848551) × cos(1.40501272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16502524460852 × 6371000     		du = 100.79540114814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40502854)-sin(1.40501272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16500964149046-0.16502524460852)×R²
    abs(-0.51848551--0.51858138)×1.56031180604532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56031180604532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56031180604532e-05×40589641000000     		ar = 10158.6095910592m²