Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27359 / 5984
↖ ↑ ↗
← N 81.228267°
W 29.712524°		 ← 93.14 m → N 81.228267°
W 29.707031°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 81.227429°
W 29.712524°		 ← 93.15 m →
8 676 m²		 N 81.227429°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417472839355469 y=0.0913162231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417472839355469 × 216)
    floor (0.417472839355469 × 65536)
    floor (27359.5)     		tx = 27359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0913162231445312 × 216)
    floor (0.0913162231445312 × 65536)
    floor (5984.5)     		ty = 5984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27359 / 5984 ti = "16/27359/5984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27359/5984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27359 ÷ 216
    27359 ÷ 65536     		x = 0.417465209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5984 ÷ 216
    5984 ÷ 65536     		y = 0.09130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417465209960938 × 2 - 1) × π
    -0.165069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51858138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09130859375 × 2 - 1) × π
    0.8173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56788383884717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51858138} λ = -0.51858138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56788383884717))-π/2
    2×atan(13.0382042854802)-π/2
    2×1.49424851197214-π/2
    2.98849702394428-1.57079632675     		φ = 1.41770070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51858138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.712524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41770070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.228267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27359 KachelY 5984 -0.51858138 1.41770070 -29.712524 81.228267
    Oben rechts KachelX + 1 27360 KachelY 5984 -0.51848551 1.41770070 -29.707031 81.228267
    Unten links KachelX 27359 KachelY + 1 5985 -0.51858138 1.41768608 -29.712524 81.227429
    Unten rechts KachelX + 1 27360 KachelY + 1 5985 -0.51848551 1.41768608 -29.707031 81.227429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41770070-1.41768608) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41770070-1.41768608) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51858138--0.51848551) × cos(1.41770070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152498277802654 × 6371000     		do = 93.1440830279212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51858138--0.51848551) × cos(1.41768608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15251272678698 × 6371000     		du = 93.152908290837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41770070)-sin(1.41768608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152498277802654-0.15251272678698)×R²
    abs(-0.51848551--0.51858138)×1.44489843269258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44489843269258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44489843269258e-05×40589641000000     		ar = 8676.22534288598m²