Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27358 / 6050
↖ ↑ ↗
← N 81.172805°
W 29.718017°		 ← 93.73 m → N 81.172805°
W 29.712524°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 81.171962°
W 29.718017°		 ← 93.74 m →
8 784 m²		 N 81.171962°
W 29.712524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417457580566406 y=0.0923233032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417457580566406 × 216)
    floor (0.417457580566406 × 65536)
    floor (27358.5)     		tx = 27358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923233032226562 × 216)
    floor (0.0923233032226562 × 65536)
    floor (6050.5)     		ty = 6050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27358 / 6050 ti = "16/27358/6050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27358/6050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27358 ÷ 216
    27358 ÷ 65536     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6050 ÷ 216
    6050 ÷ 65536     		y = 0.092315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092315673828125 × 2 - 1) × π
    0.81536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56155616809732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56155616809732))-π/2
    2×atan(12.9559632929604)-π/2
    2×1.49376452081163-π/2
    2.98752904162326-1.57079632675     		φ = 1.41673271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41673271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.172805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27358 KachelY 6050 -0.51867725 1.41673271 -29.718017 81.172805
    Oben rechts KachelX + 1 27359 KachelY 6050 -0.51858138 1.41673271 -29.712524 81.172805
    Unten links KachelX 27358 KachelY + 1 6051 -0.51867725 1.41671800 -29.718017 81.171962
    Unten rechts KachelX + 1 27359 KachelY + 1 6051 -0.51858138 1.41671800 -29.712524 81.171962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41673271-1.41671800) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41673271-1.41671800) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51858138) × cos(1.41673271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153454874341203 × 6371000     		do = 93.7283604944917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51858138) × cos(1.41671800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153469410094308 × 6371000     		du = 93.7372387547157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41673271)-sin(1.41671800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153454874341203-0.153469410094308)×R²
    abs(-0.51858138--0.51867725)×1.45357531045887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45357531045887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45357531045887e-05×40589641000000     		ar = 8784.39521319232m²