Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27357 / 7586
↖ ↑ ↗
← N 79.779215°
W 29.723511°		 ← 108.39 m → N 79.779215°
W 29.718017°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
N 79.778240°
W 29.723511°		 ← 108.40 m →
11 754 m²		 N 79.778240°
W 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417442321777344 y=0.115760803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417442321777344 × 216)
    floor (0.417442321777344 × 65536)
    floor (27357.5)     		tx = 27357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115760803222656 × 216)
    floor (0.115760803222656 × 65536)
    floor (7586.5)     		ty = 7586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27357 / 7586 ti = "16/27357/7586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27357/7586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27357 ÷ 216
    27357 ÷ 65536     		x = 0.417434692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7586 ÷ 216
    7586 ÷ 65536     		y = 0.115753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417434692382812 × 2 - 1) × π
    -0.165130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51877313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115753173828125 × 2 - 1) × π
    0.76849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41429401246451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51877313} λ = -0.51877313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41429401246451))-π/2
    2×atan(11.1818733070929)-π/2
    2×1.48160315158845-π/2
    2.9632063031769-1.57079632675     		φ = 1.39240998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51877313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.723511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39240998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.779215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27357 KachelY 7586 -0.51877313 1.39240998 -29.723511 79.779215
    Oben rechts KachelX + 1 27358 KachelY 7586 -0.51867725 1.39240998 -29.718017 79.779215
    Unten links KachelX 27357 KachelY + 1 7587 -0.51877313 1.39239296 -29.723511 79.778240
    Unten rechts KachelX + 1 27358 KachelY + 1 7587 -0.51867725 1.39239296 -29.718017 79.778240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39240998-1.39239296) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39240998-1.39239296) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51877313--0.51867725) × cos(1.39240998) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.1774417585012 × 6371000     		do = 108.390560794315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51877313--0.51867725) × cos(1.39239296) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177458508390283 × 6371000     		du = 108.400792488851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39240998)-sin(1.39239296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1774417585012-0.177458508390283)×R²
    abs(-0.51867725--0.51877313)×1.67498890824569e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.67498890824569e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.67498890824569e-05×40589641000000     		ar = 11753.8223277687m²